Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(x^2 + x + 1))

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos usar a propriedade da divisão:

underset(x -> + oo)(lim) (root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(x^2 + x + 1)) = (underset(x -> + oo)(lim) root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + x + 1))

Temos que podemos agora usar a propriedade da raiz nesse limite:

underset(x -> p)(lim) root(n)(f (x)) = root(n)(underset(x -> p)(lim) f (x)) = root(n)(L) , desde que L > 0 se n for par

Aplicando:

(underset(x -> + oo)(lim) root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + x + 1)) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 + x + 1))

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador da expressão:

(root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 + x + 1)) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 (1 + (2)/(x) - (1)/(x^3))))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2))))

Vamos aplicar a propriedade da multiplicação e da soma:

(root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 (1 + (2)/(x) - (1)/(x^3))))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)))) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 * underset(x -> + oo)(lim) 1 + (2)/(x) - (1)/(x^3)))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * underset(x -> + oo)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2))) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (- 1)/(x^3))))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2)))) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3))))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))))

Aqui vamos fazer uma manipulação com o numerador e o denominador, vamos pegar o termo x^3 e x^2 e deixar eles novamente com raíz:

(root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3))))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2)))) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) x^3) * root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) x^2) * sqrt(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) ��� (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))) = (underset(x -> + oo)(lim) root(3)(x^3) * root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)))/(underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2) * sqrt(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))) = (underset(x -> + oo)(lim) x * root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)))/(underset(x -> + oo)(lim) x * sqrt(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2)))

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separadamente.

Passo 2

Primeiro no numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x) que também tende a zero para x -> + oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) = 2 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 2 * 0 = 0

No terceiro limite temos (1)/(x^3) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^3) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3) = 0

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite temos (1)/(x) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 0

No terceiro limite temos (1)/(x^2) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^2) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) (root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(x^2 + x + 1)) = (root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)))/(sqrt(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))) = (root(3)(1 + 0 - 0))/(sqrt(1 + 0 + 0)) = (root(3)(1))/(sqrt(1)) = (1)/(1) = 1

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (root(3)(x^3 + 2 x - 1))/(sqrt(x^2 + x + 1)) = 1

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