Calcule a derivada segunda.

y = x \* raiz[3](x + 2)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = x + 2 3

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = x x + 2 3 ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' x + 2 3 + x + 2 3 ' x = x 1 - 1 x + 2 3 + x + 2 1 3   ' x = x 0 x + 2 3 + x 1 3 x + 2 1 3 - 1 x + 2 ' = 1 x + 2 3 + x 1 3 x + 2 - 2 3 x 1 - 1 + 0 = x + 2 3 + x 1 3 x + 2 2 3 x 0 = x + 2 3 + x 1 3 x + 2 2 3 1 = x + 2 3 + x 3 x + 2 2 3 = 3 x + 2 2 3 x + 2 1 3 + x 3 x + 2 2 3 = 3 x + 2 2 3 + 1 3 + x 3 x + 2 2 3 = 3 x + 2 3 3 + x 3 x + 2 2 3 = 3 x + 6 + x 3 x + 2 2 3 = 4 x + 6 3 x + 2 2 3

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 4 x + 6

e

g x = 3 x + 2 2 3

Assim:

y ' ' = y ' ' = 4 x + 6 3 x + 2 2 3 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 4 x + 6 ' 3 x + 2 2 3 - 4 x + 6 3 x + 2 2 3 ' 3 x + 2 2 3 2 = 4 x 1 - 1 + 0 3 x + 2 2 3 - 4 x + 6 2 3 ⋅ 3 x + 2 2 3 - 1 x + 2 ' 9 x + 2 4 3 = 4 ⋅ 1 3 x + 2 2 3 - 4 x + 6 2 x + 2 - 1 3 x 1 - 1 + 0 9 x + 2 4 3 = 4 3 x + 2 2 3 - 4 x + 6 2 x + 2 - 1 3 1 9 x + 2 4 3 = 12 x + 2 2 3 + - 8 x - 12 x + 2 1 3 9 x + 2 4 3 = 12 x + 2 2 3 x + 2 1 3 - 8 x - 12 x + 2 1 3 9 x + 2 4 3 = 12 x + 2 2 3 x + 2 1 3 - 8 x - 12 x + 2 1 3 ⋅ 1 9 x + 2 4 3 = 12 x + 2 2 3 + 1 3 - 8 x - 12 9 x + 2 1 3 x + 2 4 3 = 12 x + 2 3 3 - 8 x - 12 9 x + 2 1 3 + 4 3 = 12 x + 24 - 8 x - 12 9 x + 2 5 3 = 4 x + 12 9 x + 2 5 3

Resposta

y ' ' = 4 x + 12 9 x + 2 5 3

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