Enunciado

a ) Calcule:

underset(x -> + oo)(lim) (x + 3)/(x^3 + 2 x - 1)

b ) Mostre que existe r > 0 tal que

x > r => 0 < (x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) < (1)/(2)

Passo 1

Para resolver a letra a ) precisamos dividir todos os termos (tanto do numerador, quanto do denominador) pelo x de maior expoente, que no nosso caso é x^3 .

Sendo assim, dividindo todos os termos por x^3 temos:

underset(x -> + oo)(lim) ((x)/(x^3) + (3)/(x^3))/((x^3)/(x^3) + (2 x)/(x^3) - (1)/(x^3))

Agora simplificando temos:

underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x^2) + (3)/(x^3))/(1 + (2)/(x^2) - (1)/(x^3))

Agora vamos analisar o comportamento desse limite. Quando x -> + oo , os denominadores de (1)/(x^n) ( n > 1 ), ficam cada vez maiores, e o resultado dessa divisão tende a zero.

Então temos para cada um dos termos:

  • underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 0
  • underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^3) = 0
  • underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x^2) = 0
  • underset(x -> + oo)(lim) - (1)/(x^3) = 0

Daí temos que no numerador, todos os termos tendem a zero. E no denominador, apenas sobrevive o 1 :

underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x^2) + (3)/(x^3))/(1 + (2)/(x^2) - (1)/(x^3)) = (0)/(1) = 0

Conlcuindo: o resultado desse limite é zero!

Beleza? Vamos pra próximo item?

Passo 2

Agora vamos analisar a parte da esquerda dessa desigualdade:

(x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) > 0

Do numerador temos:

x + 3 > 0 :. x > - 3

E do denominador:

x^3 + 2 x - 1 > 0

Com a ajuda de um programa de gerar gráficos temos:

Então essa função só é positiva para x > (1)/(2) . Então combinando os resutlados:

Mas procuramos por valores positivos, uma vez que x > r e que r > 0 . Sendo assim o intervalo de interesse é x > (1)/(2) .

Passo 3

Agora vamos olhar para o outro lado da desigualdade:

(x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) < (1)/(2)

Com a ajuda de um programa de geração gráfica temos:

A razão (x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) vai ser menor do que (1)/(2) a partir do ponto onde eles se encontram em diante. O ponto onde eles se encontram é:

(x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) = (1)/(2)

Multiplicando cruzado temos:

x^3 + 2 x - 1 = 2 x + 6

x^3 - 1 = 6 :. x^3 = 7

Então:

x = root(3)(7)

E o intervalo de interesse aqui é x > root(3)(7) tilde 1,91 . Combinando isso com o outro intervalo (lembrando que x deve satisfazer os dois intervalos ao mesmo tempo) temos como resposta: x > root(3)(7) . Então existe sim r > 0 tal que

x > r => 0 < (x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) < (1)/(2)

E nesse caso r = root(3)(7) . Beleza?

Resposta

a ) 0

b ) x > root(3)(7) => 0 < (x + 3)/(x^3 + 2 x - 1) < (1)/(2)

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