Calcule.

lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x

Passo 1

Sabemos que a tangente é o seno sobre o cosseno, então:

x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x = x - sen ⁡ x cos ⁡ x x + sen ⁡ x cos ⁡ x = x cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x = x cos ⁡ x - sen ⁡ x x cos ⁡ x + sen ⁡ x

= x cos ⁡ x x cos ⁡ x + sen ⁡ x - sen ⁡ x x cos ⁡ x + sen ⁡ x = 1 1 + sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 x cos ⁡ x sen ⁡ x + 1

Então:

lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 1 + sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 x cos ⁡ x sen ⁡ x + 1 = 1 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x + 1

Passo 2

Para lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x × lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 × 1 1 = 1

E para lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x temos:

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 = 1 - 1 = 1

Passo 3

Logo:

lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x = 1 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x - 1 lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x + 1 = 1 1 + 1 - 1 1 + 1 = 1 2 - 1 2 = 0

lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x = 0

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