Calcule.

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ p x - p

Passo 1

Neste caso, podemos aplicar uma substituição tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ p x - p = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h + p - sen ⁡ p h

Pelo seno da soma:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h + p - sen ⁡ p h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p + sen ⁡ p cos ⁡ h - sen ⁡ p h

= lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p + sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Passo 2

Separando na soma:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p + sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p h + lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Para lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p h temos:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h × cos ⁡ p = 1 × cos ⁡ p = cos ⁡ p

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p h = cos ⁡ p

Passo 3

Para lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h temos:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = sen ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h × cos ⁡ h + 1 cos ⁡ h + 1 = sen ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = sen ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = sen ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h 2 × h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = sen ⁡ p × 1 × 0 = 0

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = 0

Logo:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ p x - p = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ p h + lim h → 0 ⁡ sen ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p + 0 = cos ⁡ p

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ p x - p = cos ⁡ p

Resposta

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - sen ⁡ p x - p = cos ⁡ p

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