Calcule.

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p

Passo 1

Para resolver essa questão vamos utilizar o Limite Fundamental Trigonométrico! Para quem lembra temos que,

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Repara que o argumento do seno é igual ao nosso denominador. Mas na função dada eles são diferentes:

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p

Além disso, o nosso limite tem que tender a zero. Então agora vamos ter que manipular um pouco a nossa função para aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico.

Passo 2

Vamos começar desmembrando a tangente:

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p =   lim x → p ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ p cos ⁡ p x - p

= lim x → p ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ p - sen ⁡ p cos ⁡ x x - p cos ⁡ x cos ⁡ p

Lembra que o seno da diferença é dado por:

sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

Então:

sen ⁡ x cos ⁡ p - sen ⁡ p cos ⁡ x = sen ⁡ x - p

Substituindo na nossa função,

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p cos ⁡ x cos ⁡ p

Agora podemos escrever nosso limite como sendo esse produto!

= lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p × 1 cos ⁡ x cos ⁡ p

Passo 3

Para

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p

podemos aplicar uma mudança de variáveis. Fazendo,

h = x - p

Vamos ter h → 0 , quando x → p . Substituindo:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Com isso ficamos,

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p × 1 cos ⁡ x cos ⁡ p

= lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h × 1 cos ⁡ h + p cos ⁡ p

Como já sabemos quanto vale lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p = 1 × 1 cos ⁡ 0 + p cos ⁡ p = 1 cos 2 ⁡ p = sec 2 ⁡ p

Resposta

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - tg ⁡ p x - p = sec 2 ⁡ p

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