Enunciado

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p)

Passo 1

Para resolver essa questão vamos utilizar o Limite Fundamental Trigonométrico! Para quem lembra temos que,

underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1

Repara que o argumento do seno é igual ao nosso denominador. Mas na função dada eles são diferentes:

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p)

Além disso, o nosso limite tem que tender a zero. Então agora vamos ter que manipular um pouco a nossa função para aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico.

Passo 2

Vamos começar desmembrando a tangente:

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((sen x)/(cos x) - (sen p)/(cos p))/(x - p)

= underset(x -> p)(lim) (sen x cos p - sen p cos x)/((x - p) cos x cos p)

Lembra que o seno da diferença é dado por:

sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a

Então:

sen x cos p - sen p cos x = sen (x - p)

Substituindo na nossa função,

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p) cos x cos p)

Agora podemos escrever nosso limite como sendo esse produto!

= underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) xx (1)/(cos x cos p)

Passo 3

Para

underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p))

podemos aplicar uma mudança de variáveis. Fazendo,

h = x - p

Vamos ter h -> 0 , quando x -> p . Substituindo:

underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1

Com isso ficamos,

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) xx (1)/(cos x cos p)

= underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) xx (1)/(cos (h + p) cos p)

Como já sabemos quanto vale underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h)

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p) = 1 xx (1)/(cos (0 + p) cos p) = (1)/(cos^2 p) = sec^2 p

Resposta

underset(x -> p)(lim) (tg x - tg p)/(x - p) = sec^2 p

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