Calcule.

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p

Passo 1

Como a secante é a razão do seno pelo cosseno, temos que:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ x - 1 cos ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p cos ⁡ x cos ⁡ p

= lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p × lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ x cos ⁡ p

Temos que:

lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p = - lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p

tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero:

- lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = - lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + p - cos ⁡ p h

Pelo cosseno da soma:

- lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + p - cos ⁡ p h = - lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - sen ⁡ h sen ⁡ p - cos ⁡ p h

= - lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p + cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Separando na soma:

- lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p + cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = - lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h - lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

= lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h sen ⁡ p h - lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Passo 2

Para lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h sen ⁡ p h temos:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h sen ⁡ p h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h × sen ⁡ p = 1 × sen ⁡ p = sen ⁡ p

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h sen ⁡ p h = sen ⁡ p

Para lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h temos:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h × cos ⁡ h + 1 cos ⁡ h + 1 = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h 2 × h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × 1 × 0 = 0

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = 0

Assim,

- lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h sen ⁡ p h - lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = sen ⁡ p - 0 = sen ⁡ p

- lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = sen ⁡ p

Passo 3

ogo

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p × lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ x cos ⁡ p = sen ⁡ p × 1 cos 2 ⁡ p = sen ⁡ p cos ⁡ p × 1 cos ⁡ p

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = tg ⁡ p sec ⁡ p

Resposta

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = tg ⁡ p sec ⁡ p

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