Enunciado

Calcule

c . underset(x -> + oo)(lim) [ 2 x - sqrt(x^2 + 3) ]

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = ( 2 x - sqrt(x^2 + 3) ) quando x tende a infinito.

Pra resolver isso, vamos separar esse limite na subtração de dois limites:

underset(x -> + oo)(lim) [ 2 x - sqrt(x^2 + 3) ] = underset(x -> + oo)(lim) 2 x - underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3)

A partir daí, vamos analisar o comportamento da função quando x tende a números infinitamente grandes.

Vamos lá!

Passo 2

Quando x -> + oo , o primeiro limite tende a + oo , certo? Olha só:

underset(x -> + oo)(lim) 2 x = + oo

E o segundo? Bom, quando temos um limite infinito, a constante 3 pode ser praticamente desprezada, porque ela não influenciar em nada na nossa função, nesse caso. Assim, temos:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) tilde underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2)

E sabendo que sqrt(x^2) = | x | , então quando x -> + oo , temos que | x | também tende a + oo . Ou seja,

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) = + oo

Com isso, temos que

underset(x -> + oo)(lim) [ 2 x - sqrt(x^2 + 3) ] = oo - oo

Então caímos em indeterminação! Para resolver esse limite, vamos ter que multiplicar pelo conjugado!

Passo 3

O conjugado de 2 x - sqrt(x^2 + 3) é:

2 x + sqrt(x^2 + 3)

Então, multiplicando esse conjugado no nosso limite, vamos ter:

underset(x -> + oo)(lim) [2 x - sqrt(x^2 + 3)] . ([2 x + sqrt(x^2 + 3)])/([2 x + sqrt(x^2 + 3)])

Multiplicando os termos:

underset(x -> + oo)(lim) ([4 x^2 - ( x^2 + 3 )])/([2 x + sqrt(x^2 + 3)]) = ([3 x^2 - 3])/([2 x + sqrt(x^2 + 3)])

Resolvendo o limite ficamos com:

underset(x -> + oo)(l i m) ([3 x^2 - 3])/([2 x + sqrt(x^2 + 3)]) = (oo)/(oo)

Caímos em outra indeterminação!

Passo 4

Para resolver o limite:

underset(x -> + oo)(l i m) ([3 x^2 - 3])/([2 x + sqrt(x^2 + 3)])

Vamos dividir o numerador e denominador pelo maior grau, no caso é x^2 :

= underset(x -> + oo)(l i m) ([(3 x^2)/(x^2) - (3)/(x^2)])/([(2 x)/(x^2) + sqrt((x^2)/(x^4) + (3)/(x^4))]) = underset(x -> + oo)(l i m) ([3 - (3)/(x^2)])/([(2)/(x) + sqrt((1)/(x^2) + (3)/(x^4))])

Aplicando o limite, temos que c // x^n quando x -> oo é zero, logo:

underset(x -> + oo)(l i m) (3)/(0) = + oo

Então esse limite é + oo . Beleza?

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

+ oo

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