Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Passo 1

Fala aí, tudo bem?

Bom, essa questão pede para gente calcular o limite da função 9 x 6 - x x 3 + 1 quando x tende a ou demostrar que esse limite não existe.

Para calcular o limite podemos inicialmente substituir a variável por sua tendência e calcular a função. Desse modo teremos:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

= 9 ∞ 6 - ∞ ∞ 3 + 1

Mas isso aí no leva a uma indeterminação do tipo:

∞ ∞

Mas essa coisa estranha aí é impossível de ser calculada desse jeito. Sendo assim, a ideia é mexer um pouco nessa função reescrevendo tudo de uma forma mais simplificada e depois disso, tentar calcular o limite novamente.

Faremos isso usando as fatorações e as propriedade do limite. Vem comigo que te mostro como.

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos primeiro dividir o numerador e o denominador da função por x 3 , que é o termo de maior expoente do denominador. Dessa forma iremos aproveitar da propriedade lim x → ∞ ⁡ 1 x r = 0 .

Para o numerador, vamos usar x 3 = x 6 , porque ele está dentro da raiz quadrada, ok.

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 6 ( x 3 + 1 ) x 3

E nosso limite vai se transformar em:

= l i m x → ∞ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

Agora, iremos aplicar a propriedade de divisão e soma de limites e para poder simplificar nosso limite

l i m x → ∞ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3 = l i m x → ∞ 9 - l i m x → ∞ 1 x 5 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 3

Passo 3

Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo, lembrado da propriedade lim x → ∞ ⁡ 1 x r = 0 .

l i m x → ∞ 9 - l i m x → ∞ 1 x 5 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 3

= 9 - 0 1 + 0 = 3

E prontinho. Limite calculado

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = 3

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