Enunciado

Sejam P   e   Q polinômios. Encontre

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

  1. Se o grau de P for menor que o grau de Q
  2. Se o grau de P for maior que o grau de Q

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos:

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

Onde P ( x ) e Q x são polinômios de graus desconhecidos! Aqui a gente precisa calcular o limite considerando:

  • O grau de P menor que o grau de Q ;
  • O grau de P   maior que o grau de Q .

Pra resolver esse problema vamos usar a propriedade:

lim x → ∞ ⁡ P x Q x = l i m x → ∞ P x l i m x → ∞ Q x

Como P e Q são polinômios, então eles são contínuos em todos os números reais. Então a gente pode usar essa propriedade!

Passo 2

Vamos começar com o grau de P < Q :

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

Pra ficar mais claro, vamos supor que o maior grau de P é 3 e o de Q é 4 , então poderíamos escrever a forma geral:

P x = a x 3 - b x 2 + c x + d

Q x = e x 4 - f x 3 + g x 2 + h x + i

Como o x 4 vai pro infinito muito mais rápido que o x 3 da mesma forma que x 3 vai pro infinito muito mais rápido que x 2 , então podemos aproximar:

P x ≈ a x 3

Q x ≈ e x 4

Então dividindo:

P x Q x ≈ a x 3 e x 4 = a e 1 x

Trazendo pro limite:

lim x → ∞ ⁡ P x Q x = lim x → ∞ ⁡ a e 1 x = 0

Beleza, funciona nesse caso. Mas significa que vai funcionar pra todo P < Q ?!

Sim! Porque pra qualquer grau do denominador maior que o grau do numerador vai “sobrar” um x no denominador. Se o denominador vai pro infinito e o numerador permanece constante, então a divisão tende a zero!

Passo 3

Agora temos o grau de   P > Q . Aqui vamos considerar:

Q x = a x 3 - b x 2 + c x + d

P x = e x 4 - f x 3 + g x 2 + h x + i

Assim:

P x Q x ≈ e x 4 a x 3   = e a x

Então:

lim x → ∞ ⁡ P x Q x = e a x = ± ∞

Se e a for positivo o limite vai pra e se for negativo ele vai pra - ∞ .

Resposta

  1. 0
  2. ± ∞
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