Enunciado

Calcule

h ) underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(2 + 3 x^3)]

Passo 1

Podemos dividir esse limite na subtração de dois limites:

underset(x -> + oo)(lim) [ x - root(3)(2 + 3 x^3) ] = underset(x -> + oo)(lim) x - underset(x -> + oo)(lim) root(3)(2 + 3 x^3)

Resolvendo os limites ficamos com,

underset(x -> + oo)(lim) [ x - root(3)(2 + 3 x^3) ] = oo - oo

Então caímos em indeterminação! Para resolver esse limite, vamos ter que multiplicar pelo conjugado!

Passo 2

O conjugado de x - root(3)(2 + 3 x^3) é,

x + root(3)(2 + 3 x^3)

Multiplicando,

underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(2 + 3 x^3)] . ([x + root(3)(2 + 3 x^3)])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)])

Resolvendo, ficamos com,

underset(x -> + oo)(lim) ([x^2 - (2 + 3 x^3)^(2 // 3)])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)])

Continuamos com o mesmo problema! Vamos repetir a operação,

underset(x -> + oo)(lim) ([x^2 - (2 + 3 x^3)^(2 // 3)])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)]) . ([x + root(3)(2 + 3 x^3)])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)])

underset(x -> + oo)(lim) ([x^3 - (2 + 3 x^3)])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)]^2)

underset(x -> + oo)(lim) ([- 2 x^3 - 2])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)]^2)

Agora vamos resolver o limite!

Passo 3

Para resolver o limite,

underset(x -> + oo)(lim) ([- 2 x^3 - 2])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)]^2)

Vamos dividir o numerador e denominador pelo maior grau, no caso é x^3

underset(x -> + oo)(lim) ([- 2 x^3 - 2])/([x + root(3)(2 + 3 x^3)]^2) = underset(x -> + oo)(lim) ([(- 2 x^3)/(x^3) - (2)/(x^3)])/([(x)/(x^((3)/(2))) + root(3)((2)/(x^6) + (3 x^3)/(x^6))]^2) = underset(x -> + oo)(lim) ([- 2 - (2)/(x^3)])/([(1)/(x^((1)/(2))) + root(3)((2)/(x^6) + (3)/(x^3))]^2)

Aplicando o limite, temos que c // x^n quando x -> oo é zero, logo,

underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(0^-) = - oo

Então esse limite é - oo . Beleza?

Resposta

- oo

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