Calcule.

lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p

Passo 1

Neste caso, podemos aplicar uma substituição tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero:

lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + p - cos ⁡ p h

Pelo cosseno da soma:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + p - cos ⁡ p h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - sen ⁡ h sen ⁡ p - cos ⁡ p h

= lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p + cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Separando na soma:

lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p + cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h

Passo 2

Para lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h temos:

lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h × - sen ⁡ p = 1 × - sen ⁡ p = - sen ⁡ p

lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h = - sen ⁡ p

Para lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h temos:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h × cos ⁡ h + 1 cos ⁡ h + 1 = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1 = cos ⁡ p × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h 2 × h cos ⁡ h + 1

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = cos ⁡ p × 1 × 0 = 0

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = 0

Passo 3

Logo:

lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h sen ⁡ p h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ p cos ⁡ h - 1 h = - sen ⁡ p + 0 = - sen ⁡ p

lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = - sen ⁡ p

Resposta

lim x → p ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ p x - p = - sen ⁡ p

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados