Enunciado

Dê exemplo de uma função f tal que lim x → p ⁡ f x existe, mas lim x → p ⁡ f x não exista.

Passo 1

Temos que encontrar uma função cuja o módulo dela exista, mas ela não. Uma dica do que vamos buscar é um função cuja os limites laterais sejam diferentes, porém iguais em módulo.

Podemos dar como exemplo uma função dada por duas sentenças:

f x = - 1 ,     x < 0 1 ,     x ≥ 0

Assim, quando x → 0 , os limites laterais para o módulo serão iguais:

lim x → 0 - ⁡ f x = - 1 = 1

lim x → 0 + ⁡ f x = + 1 = 1

Então o limite do módulo existe, sendo igual aos limites laterais:

lim x → 0 ⁡ f x = 1

Agora vamos olhar para função sem o módulo!

Passo 2

Lembrando que temos essa função

f x = - 1 ,     x < 0 1 ,     x ≥ 0

Agora veja que o limite de f x quando x → 0 não existe, pois os limites laterais são diferentes:

lim x → 0 - ⁡ f x = - 1

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

Agora restar nos certificar que, para os demais valores de p , o limite do módulo também existe:

p < 0   :       lim x → p ⁡ f x = - 1 = 1

p > 0   :       lim x → p ⁡ f x = 1 = 1

Logo, para a função f dada, existe lim x → p ⁡ f x para todo p real, mas não existe lim x → p ⁡ f x para p = 0 .

Resposta

f x = - 1 ,     x < 0 1 ,     x ≥ 0

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