Enunciado

Trace o gráfico de uma função   y = f x que satisfaça as condições dadas.

f 0 = 0 , lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 ,   l i m x → 0 + f x = 2 e l i m x → 0 - f x = - 2

Passo 1

O primeiro passo é olhar o tipo de resposta que o limite apresenta, ou seja, se é zero, um número ou . Com isso, nós podemos ver qual tipo de função se encaixa melhor para cada caso.

Na questão temos que, lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 ,   isso significa que uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo fosse maior que o grau do polinômio de cima, cairia bem já que nesses casos, quando x → ∞ o limite dará 0 . Veja no exemplo abaixo:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 2 x + 7 x 3 - 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x 3 + 2 x x 3 + 7 x 3 x 3 x 3 - 2 x x 3 =     lim x → ± ∞ ⁡ 1 x + 2 x 2 + 7 x 3 1   - 2 x 2

=   l i m x → ± ∞ 1 x + 2 x 2 + 7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 - 2 x 2 =   l i m x → ± ∞ 1 x +   l i m x → ± ∞ 2 x 2 +   l i m x → ± ∞   7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 -   l i m x → ± ∞ 2 x 2 = 0 +   0 + 0 1 - 0 = 0 1 = 0 .

Passo 2

O segundo passo é perceber que o limite dessa função assume valores diferentes quando x → 0 -   e quando x → 0 + , então vamos separar o problema em duas partes, ou seja, vamos imaginar a cara da função quando x > 0   e quando x < 0 .

Para isso vamos ver que a cara da f ( x ) quando l i m x → 0 + f x = 2 , sabendo que ela tem que ser uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo deve ser maior que o do polinômio de cima.

Então quando x → 0 +   , ou seja, x > 0 podemos pensar em escrever f ( x ) assim:

f x = x + 2 x 2 +   1

O que TOP pois,

l i m x → 0 + f x =   l i m x → 0 + x + 2 x 2 + 1 = 0 + 2 0 + 1 = 2 1 = 2 .

E como para x = - 1 o denominador é diferente de zero, então não temos com o que nos preocupar.

Mas ainda temos os valores que f ( x ) assume quando   x → 0 -   , e nessa situação sabemos que l i m x → 0 - f x = - 2 , que f ( x ) deve ser uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo deve ser maior que o do polinômio de cima.

Então quando x → 0 - , ou seja, x < 0 podemos pensar em escrever f ( x ) assim:

f x = x - 2 x 2 +   1  

Isso é legal porque,

l i m x → 0 - f x =   l i m x → 0 - x - 2 x 2 +   1 = 0 - 2 0 + 1 = - 2 1 = - 2 .

E como - 1   está no intervalo que consideramos, então não temos com o que nos preocupar.

Pronto até aqui está tudo tranquilo. Porém temos que lembrar que não usamos o fato f 0 = 0 e que l i m x → 0 - f x ≠ l i m x → 0 + f x , ou seja , em x = 0 o gráfico dá função dará um salto, por causa da descontinuidade em x = 0 .

E portanto,

f x = x - 2 x 2 +   1 , s e       x < 0                 0           , s e           x = 0 x + 2 x 2 + 1 , s e           x > 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule. lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 3 3 x 2 + x + 1
Calcule lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1 Mostre que existe r0 tal que xr ⟹ 1 4x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 13 4
Calcule f ) lim x → + ∞ ⁡ [ x - x + 3 ]
Calcule d ) lim x → + ∞ ⁡ ( x 3 - 2 x + 3 )