Enunciado

Determine o limite underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1)

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar um número que representa o limite, desde ele exista, certo? Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras do produto, da soma, do quociente e etc...

Agora, veja que estamos com uma divisão de polinômios e, quando x -> oo o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . No nosso caso, dividiremos todo mundo por x^2 .

Daí,

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1) = underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 1))/(x))/((x + 1)/(x))

Passo 2

Nesse ponto, podemos observar que

| x | = sqrt(x^2)

Mas como nosso limite esta tendendo para valores negativos podemos ignorar o modulo e assumir que:

sqrt(x^2) = | x | = - x

Voltando para nossas contas, temos:

underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 1))/(x))/((x + 1)/(x)) = underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2)))/((x + 1)/(sqrt(x^2))) = underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt((x^2 + 1)/(x^2)))/(((x + 1))/(| x |)) = underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt((x^2 + 1)/(x^2)))/(((x + 1))/(- x)) = underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(- 1 - (1)/(x))

Passo 3

Usando as regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, temos

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(- 1 - (1)/(x)) = (underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) - 1 - (1)/(x))

Passo 4

Como no limite que devemos calcular tem uma raiz ai na frente, então você vai passar com o limite pra dentro da raiz. Isso mesmo! Olhando a raiz como uma função, temos que ela é contínua, então o limite pode dá aquela puladinha, beleza?

Ou seja, nossa contas ficam:

(underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) - 1 - (1)/(x)) = (sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) - 1 - (1)/(x))

Passo 5

Pela regra da soma e da subtração: “ O limite da soma é a soma dos limites” e “o limite da subtração é a subtração dos limites”, nossa conta fica:

(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + (1)/(x)) = (sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) - 1 - underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x))

Passo 6

Para prosseguir, precisamos lembrar de mais algumas coisas:

1ª coisa: Como 1 não depende de x ele  é uma constante e aí pela regra da constante, 

      underset(x -> oo)(l i m) = 1

2ª coisa: 

                                                     underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^2) = 0

Vou tentar ilustrar rapidinho:

 Imagine que você tem R$100,00  para dividir para nós dxs, beleza ? Então, a quantidade que vamos receber seria  R$50,00 Mas e se agora você tiver que dividir para cem pessoas, o valor vai ser bem menor, não é ? Mas e se for para mil pessoas? Menor ainda, concorda comigo, migxs?  Então, o valor recebido por cada um de nós é cada vez menor à medida que aumentamos a quantidade de pessoas que temos que dividir o money, ou seja, estamos ficando com quase nada,  né?!! O valor a receber por nós tende a zero. 

Tá, se olharmos para esse  R$100,00 como nosso 1 e fazermos  x tender a infinito é como se estivessemos dividindo o 1 por valores cada vez maiores, consequentemente 

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x^2) = 0

Da mesma forma,

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0

3ª Coisa:

underset(x -> oo)(l i m) x = oo

Passo 7

Então, substituindo naquela bagaça

(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) - 1 - underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x)) = (sqrt(1 + 0 ))/(- 1 - 0) = - 1

Por fim, temos que nosso resultado é

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1) = - 1

Resposta

underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1) = - 1

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