Determine o limite lim_{x → -∞} (raiz(x^2 + 1) / (x + 1))

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar um número que representa o limite, desde ele exista, certo? Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras do produto, da soma, do quociente e etc...

Agora, veja que estamos com uma divisão de polinômios e, quando x   → ∞ o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . No nosso caso, dividiremos todo mundo por x 2 .

Daí,

l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x + 1 =   l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x x + 1 x

Passo 2

Nesse ponto, podemos observar que

| x | =   x 2

Mas como nosso limite esta tendendo para valores negativos podemos ignorar o modulo e assumir que:

  x 2 = | x | =   - x

Voltando para nossas contas, temos:

l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x x + 1 x   = l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x 2 x + 1 x 2 =   l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x 2 x + 1 | x | =   l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x 2 x + 1 - x = l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     - 1 - 1 x  

Passo 3

Usando as regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, temos

l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     - 1 - 1 x     =   l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     l i m x   → -   ∞ - 1 - 1 x  

Passo 4

Como no limite que devemos calcular tem uma raiz ai na frente, então você vai passar com o limite pra dentro da raiz. Isso mesmo! Olhando a raiz como uma função, temos que ela é contínua, então o limite pode dá aquela puladinha, beleza?

Ou seja, nossa contas ficam:

l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     l i m x   → -   ∞ - 1 - 1 x   =   l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     l i m x   → -   ∞ - 1 - 1 x    

Passo 5

Pela regra da soma e da subtração: “ O limite da soma é a soma dos limites” e “o limite da subtração é a subtração dos limites”, nossa conta fica:

l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x 2     l i m x   → -   ∞ 1 + 1 x     =   l i m x   → -   ∞ 1 + l i m x   → -   ∞ 1 x 2     l i m x   → -   ∞ - 1 - l i m x   → -   ∞ 1 x  

Passo 6

Para prosseguir, precisamos lembrar de mais algumas coisas:

1ª coisa: Como 1 não depende de x ele  é uma constante e aí pela regra da constante, 

      l i m x   →   ∞ = 1  

2ª coisa: 

                                                       ⁡ l i m x   →   ∞ 1 x 2 = 0

Vou tentar ilustrar rapidinho:

 Imagine que você tem R$100,00  para dividir para nós dxs, beleza ? Então, a quantidade que vamos receber seria  R$50,00 Mas e se agora você tiver que dividir para cem pessoas, o valor vai ser bem menor, não é ? Mas e se for para mil pessoas? Menor ainda, concorda comigo, migxs?  Então, o valor recebido por cada um de nós é cada vez menor à medida que aumentamos a quantidade de pessoas que temos que dividir o money, ou seja, estamos ficando com quase nada,  né?!! O valor a receber por nós tende a zero. 

Tá, se olharmos para esse  R$100,00 como nosso 1 e fazermos  x tender a infinito é como se estivessemos dividindo o 1 por valores cada vez maiores, consequentemente 

lim x →  ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Da mesma forma,

  ⁡ l i m x   →   ∞ 1 x = 0

3ª Coisa:

  ⁡ l i m x   →   ∞   x = ∞

Passo 7

Então, substituindo naquela bagaça

  l i m x   → -   ∞ 1 + l i m x   → -   ∞ 1 x 2     l i m x   → -   ∞ - 1 - l i m x   → -   ∞ 1 x   =   1 + 0   - 1 - 0 = - 1

Por fim, temos que nosso resultado é

l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x + 1       = - 1  

Resposta

l i m x   →   - ∞ x 2 + 1 x + 1       = - 1  

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