Calcule.

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 1

Como a função 1 x é uma função que vai para o infinito quando nos aproximamos, o seu seno, nessa aproximação, oscila entre seu menor valor e seu maior valor.

Só lembrando que a função seno varia de - 1 até 1

- 1 ≤ sen ⁡ a ≤ 1

Então:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Logo, a função sen ⁡ 1 x é uma função limitada entre - 1 e + 1 .

Mas não podemos nos esquecer que temos um x multiplicando a função seno.

Passo 2

Quando temos o limite do produto de uma função limitada com uma que vai para zero, então esse limite vai para zero. Repara que podemos escrever o nosso limite assim,

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = lim x → 0 ⁡ x   .   lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x

Como lim x → 0 ⁡ x = 0 e sen ⁡ 1 x é uma função limitada, então:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0   .   lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

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