Calcule.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x

Passo 1

Para resolvermos esse limite, devemos desmembrar o seno da soma:

Lembrando que

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Temos então:

sen ⁡ x 2 + 1 x = sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2

Logo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x =   lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - sen ⁡ 1 x x

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x

Passo 2

Basta então, resolver os dois limites e somar os resultados:

Para lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x × x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 × x cos ⁡ 1 x

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 × lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x

Como lim x → 0 ⁡ x = 0 e cos ⁡ 1 x é uma função limitada, então lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 0 . E substituindo x 2 = h de modo que x → 0 ⇒ h → 0 ; temos que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1 , assim:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 × lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 1 × 0 = 0

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 cos ⁡ 1 x x = 0

Passo 3

Para lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x × x x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x 2 × lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Como lim x → 0 ⁡ x = 0 e sen ⁡ 1 x é uma função limitada, então lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0 . E substituindo x 2 = h de modo que x → 0 ⇒ h → 0 ; temos que lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x 2 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h = 0 , assim:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x 2 × lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0 × 0 = 0

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x = 0

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