Enunciado

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x)

Passo 1

Como a função (1)/(x) é uma função que vai para o infinito quando nos aproximamos, o seu seno, nessa aproximação, oscila entre seu menor valor e seu maior valor.

Só lembrando que a função seno varia de - 1 até 1

- 1 <= sen a <= 1

Então:

- 1 <= sen (1)/(x) <= 1

Logo, a função sen (1)/(x) é uma função limitada entre - 1 e + 1 .

Mas não podemos nos esquecer que temos um x multiplicando a função seno.

Passo 2

Quando temos o limite do produto de uma função limitada com uma que vai para zero, então esse limite vai para zero. Repara que podemos escrever o nosso limite assim,

underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = underset(x -> 0)(lim) x . underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x)

Como underset(x -> 0)(lim) x = 0 e sen (1)/(x) é uma função limitada, então:

underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0 . underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0

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