Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2)

Passo 1

Bom galera, o problema pede pra a gente calcular o limite de underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2) caso ele exista! Bora lá?

Não podemos substituir x = 2 de cara sem dar indeterminação:

underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2) = (2^2 - 2 + 6)/(2 - 2) = (8)/(0)

Então devemos ter em mente que o limite sempre existe se:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

a in I R

L in I R

Pode acontecer do resultado do limite ser +- oo ou dele simplesmente ser incalculável.

Nesses dois casos, dizemos que o limite não existe. Será que aqui a gente acha um número L qualquer? Bora lá!! 😉

Passo 2

Bom galera, para começar vamos adaptar um pouquinho! Usando a propriedade:

underset(x -> a)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = (underset(x -> a)(lim) f ( x ))/(underset(x -> a)(lim) g ( x ))

Logo, temos:

underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2) = (underset(x -> 2)(l i m) ( x ² - x + 6 ))/(underset(x -> 2)(l i m) ( x - 2 ))

Usando as propriedades 1 e 2 dessa seção:

underset(x -> a)(lim) [f (x) + g (x)] = underset(x -> a)(lim) f (x) + underset(x -> a)(lim) g (x)

underset(x -> a)(lim) [f (x) - g (x)] = underset(x -> a)(lim) f ( x ) - underset(x -> a)(lim) g ( x )

(underset(x -> 2)(l i m) ( x ² - x + 6 ))/(underset(x -> 2)(l i m) ( x - 2 )) = (underset(x -> 2)(l i m) x ² - underset(x -> 2)(l i m) x + underset(x -> 2)(l i m) 6)/(underset(x -> 2)(l i m) x - underset(x -> 2)(l i m) 2)

Passo 3

Usando a de número 7 e 8 :

underset(x -> a)(lim) c = c

(underset(x -> 2)(l i m) x ² - underset(x -> 2)(l i m) x + underset(x -> 2)(l i m) 6)/(underset(x -> 2)(l i m) x - underset(x -> 2)(l i m) 2) = (underset(x -> 2)(l i m) x ² - 2 + 6)/(2 - 2)

Agora vamos aplicar a última, número 9 :

underset(x -> a)(lim) x^n = a^n o n d e n é u m n ú m e r o i n t e i r o p o s i t i v o

Assim, temos:

(underset(x -> 2)(l i m) x ² - 2 + 6)/(2 - 2) = (2 ² - 2 + 6)/(2 - 2) = (8)/(0)

Passo 4

Enfim, achamos:

underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2) = (8)/(0)

Na prática, não dá pra dividir nada por zero né? Então dizemos que esse limite não existe.

O que acontece é que quando x chega bem perto de 2 , a função:

f (x) = (x ² - x + 6)/(x - 2)

Vai chegar bem perto de +- oo . Duvida? Da uma olhada no gráfico dessa função:

Então é isso galera, o limite não existe pois ele diverge!!

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (x ² - x + 6)/(x - 2) = n ã o e x i s t e !

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