Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x 3 ;

y = x ;

x ≥ 0 ;

Em torno do eixo x .

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = x 3 ;   y = x ;   x ≥ 0 ;

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = x 3 ;

y = x ;

x ≥ 0 ;

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 0 e b = 1 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:

y = x

y = x 3

Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno! Agora vamos esboçar o sólido e a arruela:

Essa região sombreada é a arruela que representa a secção transversal no sólido!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d x

Essa área é dada por:

A x = π r e x t e r n o 2 - π r i n t e r n o 2

A x = π x 2 - π x 3 2

A x = π x 2 - x 6

Substituindo na fórmula do volume:

V = ∫ 0 1 π x 2 - x 6   d x

Passo 5

Vamos integrar:

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 6   d x = π x 3 3 - x 7 7 0 1

V = π 1 3 - 1 7 = 4 π 21

Prontinho!

Resposta

V = 4 π 21

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