Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 4 - 3 x 2 - 4

Passo 1

Iremos analisar o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 4 - 3 x 2 - 4

Primeiro passo, já sabe né, substitui o valor do limite para ver no que dá:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 4 - 3 x 2 - 4 = 2 2 - 4 2 + 4 2 4 - 3 2 2 - 4 = 4 - 8 + 4 16 - 12 - 4 = 0 0

Opa, tivemos aqui uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Para conseguir retira-la, iremos fatorar o numerador e o denominador.

No numerador podemos reparar que temos o seguinte produto notável ocorrendo:

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Onde a = x e b = 2

Já no denominador temos um polinômio de quarto grau... o que pode ser um pouquinho complicado, mas tem erro não. Para fatorá-lo, vamos fazer divisão de polinômios.

Sabemos que x = 2 é uma raíz do polinômio do denominador (afinal ele zera quando x = 2 ), dessa forma, podemos fatora-lo fazendo:

x 4 - 3 x 2 - 4 = x - 2 P x

E para encontrar esse polinômio P x basta dividir ( x 4 - 3 x 2 - 4 )   por x - 2 .

Vamos fazer tudo isso nós passos seguintes, bora lá?!

Passo 2

Inicialmente, vamos fatorar o polinômio do numerador, fazendo:

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Aplicando no nosso numerador, ficamos com:

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

Perfeito, então nosso limite fica sendo:

lim x → 2 ⁡ x - 2 2 x 4 - 3 x 2 - 4

Show de bolê... vamos para o denominador agora...

Passo 3

Para o denominador, iremos dividi-lo por x - 2 (pois sabemos que x = 2 é uma de suas raízes).

Realizando a divisão de polinômios, obtemos:

Daí devemos fazer x 4 dividido por x resulta em x 3 :

x 3 multiplicado por x - 2 resulta em x 4 - 2 x 3 que deve ir com sinal trocado pro outro lado:

Então realizando a operação x 4 - 3 x 2 - 4 - x 4 + 2 x 3 , obtemos: 2 x 3 - 3 x 2 - 4

E agora repetimos a operação. 2 x 3 dividido por x resulta em 2 x 2 :

E 2 x 2 multiplicado por x - 2 resulta em 2 x 3 - 4 x 2 que vai pro outro lado com sinal trocado e então realizando a soma obtemos:

Acho que você já entendeu a ideia... aí é só repetir até chegar no resto zero

Dessa forma, podemos dizer que:

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2 = x 3 + 2 x 2 + x + 2    

E como queríamos fatorar o polinômio de quarto grau, podemos por fim dizer que:

x 4 - 3 x 2 - 4 = x - 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2

Agora é só substituir isso no limite

Passo 4

Tínhamos que

lim x → 2 ⁡ x - 2 2 x 4 - 3 x 2 - 4

E fatoramos o denominador obtendo:

lim x → 2 ⁡ x - 2 2 x - 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2

Perfeito, temos um x - 2 em cima que podemos cortar com um x - 2 embaixo!

lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2 x - 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2 = lim x → 2 ⁡ x - 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2

Essa operação deve ter sido suficiente para retirar a indeterminação, vamos então substituir o valor do limite:

lim x → 2 ⁡ x - 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2 = 0 2 3 + 2 2 2 + 2 + 2 = 0 20 = 0

Show de bolê!!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 4 - 3 x 2 - 4 = 0

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