Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2

Passo 1

Iremos analisar o seguinte limite:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2

E primeiro passo de resolução de limite é substituir o valor do limite e ver no que dá:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 = 4 - 16 16 16 - 16 2 = 4 - 4 16 2 - 16 2 = 0 0

Opa, chegamos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Como nesse limite nós temos uma raíz no numerador, vamos usar a estratégia de multiplicar pelo conjugado:

O numerador possui o termo:

4 - x

E iremos multiplicar o numerador e o denominador da nossa função pelo conjugado que é:

4 + x

Passo 2

Começaremos o exercício multiplicando o limite pelo “conjugado” do numerador, sendo assim:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 . 4 + x 4 + x

Ali no numerador usamos o seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Onde a = 4 e b = x

Portanto, teremos que:

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 . 4 + x 4 + x = lim x → 16 ⁡ 16 - x 16 x - x 2 4 + x

Passo 3

Agora, repara que tem um termo no numerador que é de certa forma parecido com um termo do denominador. Se nós fatorarmos 16 x - x 2 colocando o x em evidência, teremos:

lim x → 16 ⁡ 16 - x x 16 - x 4 + x

Agora simplificando o termo ( 16 - x ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim x → 16 ⁡ 1 x 4 + x

Agora já devemos ter retirado a indeterminação, vamos tentar!

Passo 4

Substituindo o valor do limite, obtemos:

1 16 4 + 16 = 1 16 ( 8 ) = 1 128

Resposta

lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2 = 1 128

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Use o Teorema 5.4.2 para calcular as somas e verifique suas respostas usando um recurso computacional. ∑ k = 1 100 ( 7 k + 1 )
Expresse com a notação de somatório a soma dos inteiros pares de 2 a 100.Expresse com a notação de somatório a soma dos inteiros ímpares de 1 a 99.
Calcule.sum_(k = 1)^4 k s e n ((k pi)/(2)) sum_(j = 0)^5 (- 1)^j sum_(i = 7)^(20) (pi^2) sum_(m = 3)^5 2^(m + 1) sum_(n = 1)^6 sqrt(n) sum_(i = 0)^(10) cos k pi
Use o Teorema 5.4.2 para calcular as somas e verifique suas respostas usando um recurso computacional. ∑ k = 1 30 k ( k - 2 ) ( k + 2 )
Calcule.sum_(k = 1)^3 k^3 ( b ) sum_(j = 2)^6 (3 j - 1) sum_(i = - 4)^1 ( i^2 - i ) sum_(n = 0)^5 1 sum_(k = 0)^4 (- 2)^k sum_(n = 1)^6 s e n n pi