26. lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 4 - 1

Passo 1

Nosso limite é o seguinte:

L = lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 4 - 1

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos x = - 1 , vamos ver o que acontece.

L = 1 - 2 + 1 1 - 1 = 0 0

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 2

Como temos polinômios no numerador e no denominador, a ideia vai ser fatorar. Lembra dessa fatoração?

a - b a + b = a 2 - b 2

Então nosso denominador fica o seguinte:

x 4 - 1 = x 2 2 - 1

Assim,

x 4 - 1 = ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 1 )

O mesmo para termo x 2 - 1 :

x 4 - 1 = x - 1 ⋅ x + 1 ⋅ x 2 + 1

Nosso denominador já ta OK. Agora vamos ver o numerador!

x 2 + 2 x + 1

Aqui podemos resolver a equação do segundo grau e fatorar o polinômio ou lembrar do seguinte:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos ver como ficam as coisas lá no limite

L = lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 4 - 1

Logo,

L = lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 x - 1 ⋅ x + 1 ⋅ x 2 + 1

O nosso x tende a - 1 ele nunca é - 1 . Assim, x + 1   ≠ 0 . Simplificando:

L = lim x → - 1 ⁡ x + 1 x - 1 ⋅ x 2 + 1

Para x = - 1 :

L = - 1 + 1 - 1 - 1 ⋅ 1 + 1 = 0

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 4 - 1 = 0

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