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Encontre os limites fazendo uma substituição apropriada nos limites dados pelo Teorema 5.10.8.

(a) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x

(b) lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 1 / x

Passo 1

(a) O Teorema citado nos diz que:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x = e

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 / x = e

Na letra (a), temos que calcular:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x

Podemos fazer u = 2 x e então:

lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u / 2 = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u

E pela propriedade do limite:

l i m u → + ∞ 1 + 1 u u = e

Passo 2

(b) Agora, vamos calcular:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 1 x

Fazendo u = 2 x de novo:

lim u → 0 ⁡ 1 + u 2 / u = lim u → 0 ⁡ 1 + u 1 u 2

E pela propriedade do limite:

lim u → 0 ⁡ 1 + u 1 / u 2 = e 2

Resposta

(a) e

(b) e 2

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