Calcule o limite, se ele existir.

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos analisar o seguinte limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1

Veja que se substituirmos t = 1 , teremos uma indeterminação, sendo assim a simplificação se faz necessária.

Passo 2

Começaremos o exercício fatorando o numerador e reescrevendo o denominador com a ajuda da seguinte propriedade:

( a 3 - b 3 ) = ( a - b ) ( a 2 + 2 a b + b 2 )

Sendo assim, com a = t e b = 1 , podemos reescrever o limite como:

lim t → 1 ⁡ ( t 2 - 1 ) ( t 2 + 1 ) ( t - 1 ) ( t 2 + t + 1 )

Passo 3

Agora iremos fatorar novamente o primeiro termo do numerador, com a propriedade:

( a 2 - b 2 ) = ( a - b ) ( a + b )

Aplicando:

lim t → 1 ⁡ ( t - 1 ) ( t + 1 ) ( t 2 + 1 ) ( t - 1 ) ( t 2 + t + 1 )

Agora simplificando o termo ( t - 1 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim t → 1 ⁡ ( t + 1 ) ( t 2 + 1 ) ( t 2 + t + 1 )

Passo 4

Agora iremos substituir os valores para t , obtendo:

1 + 1 1 2 + 1 1 2 + 1 - 1 = 4 3

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1 = 4 3

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