Enunciado

Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista, explique o porquê.

  1. lim x → 2 ⁡ f x + g x
  2. lim x → 1 ⁡ f x + g x
  3. lim x → 0 ⁡ f x g x
  4. lim x → - 1 ⁡ f x g x
  5. lim x → 2 ⁡ x 3 f x
  6. lim x → 1 ⁡ 3 + f ( x )

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... a questão nos dá esses dois gráficos de duas funções f x e g x :

Aqui a gente tem que usar a propriedade dos limites para resolver, iremos de modo geral tentar individualizar o limite de cada função, para que assim possamos olhar no gráfico qual o valor do limite.

As propriedades que iremos utilizar aqui são:

  1. lim x → a ⁡ [ f x ± g x ] = lim x → a ⁡ f ( x ) ± lim x → a ⁡ g ( x )
  2. lim x → a ⁡ f x ∙ g x = lim x → a ⁡ f x ∙ lim x → a ⁡ f x
  3. lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x )
  4. lim x → a ⁡ f ( x ) n = lim x → a ⁡ f ( x ) n

Pois veja, não temos o gráfico da soma, nem do produto das funções, apenas das funções individuais, mas com as propriedades de limites podemos individualizar cada limite e utilizar de forma positiva os gráficos.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Letra a

Pelas propriedades aritméticas do limite, na letra a , temos:

lim x → 2 ⁡ f x + g x = lim x → 2 ⁡ f ( x ) + lim x → 2 ⁡ g ( x )

Se você olhar bem, vai ver que quando x = 2 , a função f ( x ) está definida por um ponto a parte do resto da função.

Mas não se preocupa, quando calculamos limites, só importa para onde a função tende quando o x tende a 2 .

Dessa forma, vemos que tanto pela direita, quanto pela esquerda, conforme nos aproximamos de x = 2 , f se aproxima de 2 .

Sendo assim, seu limite é:

lim x → 2 ⁡ f x = 2

Olhando para o gráfico de g x , quando x estiver tendendo a 2 (tanto pela esquerda quanto pela direita), g x tenderá a 0 .

Assim, temos:

lim x → 2 ⁡ f x + g x = 2 + 0

lim x → 2 ⁡ f x + g x = 2

Passo 3

Letra b

Pelo Gráfico e pelas propriedades aritméticas do limite, temos:

lim x → 1 ⁡ f x + g x = lim x → 1 ⁡ f x + lim x → 1 ⁡ g x

lim x → 1 ⁡ f x + g x = 1 +   ? ?

Repare como a função g ( x ) tende a valores diferentes quando x tende a 1 pela esquerda ou pela direita.

Quando isso acontece, dizemos que o limite não existe, assim como a soma:

∄   lim x → 1 ⁡ f x + g x

Passo 4

Letra c

Pelo Gráfico e pelas propriedades aritméticas do limite, temos:

lim x → 0 ⁡ [ f x g x ] = lim x → 0 ⁡ f ( x ) ∙ lim x → 0 ⁡ g ( x )

Olhando para o gráfico de f x , quando x estiver tendendo a 0 (tanto pela esquerda quanto pela direita), f x tenderá a 0 .

Por outro lado, olhando para o gráfico de g x , quando x estiver tendendo a 0 (tanto pela esquerda quanto pela direita), g x tenderá a 1,5 .

Assim, temos:

lim x → 0 ⁡ f x g x = 0 ∙ 1,5

lim x → 0 ⁡ [ f x g x ] = 0

Passo 5

Letra d

Pelo Gráfico e pelas propriedades aritméticas do limite, temos:

lim x → - 1 ⁡ f x g x = lim x → - 1 ⁡ f x lim x → - 1 ⁡ g x

Mas como quando nos aproximamos de x = - 1 , temos:

lim x → - 1 ⁡ g x = 0

Não podemos dividir por zero e por isso o limite não existe:

∄   lim x → - 1 ⁡ f x g x

Passo 6

Letra e

Pelo Gráfico e pelas propriedades aritméticas do limite, temos:

lim x → 2 ⁡ x 3 f x = lim x → 2 ⁡ x 3 ∙ lim x → 2 ⁡ f x

Mais uma vez, apesar da função f ( x ) valer 1 para x = 2 , seu limite tende a 2 por ambos os lados e é esse valor que consideramos.

Assim:

lim x → 2 ⁡ x 3 f x = 2 3 ∙ 2

lim x → 2 ⁡ x 3 f x = 16

Passo 7

Letra f

Pelas propriedades dos limites, temos que:

lim x → 1 ⁡ 3 + f ( x ) = 3 + lim x → 1 ⁡ f ( x )

Como a gente já sabe, pela letra a):

lim x → 1 ⁡ f x = 1

Temos:

3 + lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3 + 1 = 4 = 2

Resposta

Os resultados encontrados foram:

  1. lim x → 2 ⁡ f x + g x = 2
  2. ∄   lim x → 1 ⁡ f x + g x
  3. lim x → 0 ⁡ f x g x = 0
  4. ∄   lim x → - 1 ⁡ f x g x
  5. lim x → 2 ⁡ x 3 f x = 16
  6. lim x → 1 ⁡ 3 + f ( x ) = 2
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