Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> - oo)(lim) (2^x)/(e^x)

Passo 1

Nós não somos tão ninjas a ponto de olhar pra essa função e saber como ela é em - oo , né?! Ou será que somos? :p

Pensa o seguinte: (2^x)/(e^x) é o mesmo que ((2)/(e))^x , certo?

Como 2 < e , essa divisão tem como resultado num número n , que tá entre 0 e 1, sendo elevado a x , enquanto x fica cada vez mais próximo de - oo :

underset(x -> - oo)(lim) (2^x)/(e^x) = underset(x -> - oo)(lim) n^x , 0 < n < 1 .

Passo 2

Fica mais fácil ver o que acontece se a gente fizer assim:

underset(x -> - oo)(lim) n^x = underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(n))^x , 0 < n < 1 .

Da inequação n < 1 , fica claro que (1)/(n) > 1 e então a gente tá elevando um número maior que 1 à potência x , que cresce indefinidamente, e isso vai ficando cada vez maior e maior e maior...

Passo 3

Como tudo já perdeu o controle e cresce mais conforme x aumenta, dá pra afirmar que

underset(x -> - oo)(lim) (2^x)/(e^x) = + oo .

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) (2^x)/(e^x) = + oo .

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