Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 1 2 x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 1 2 x = ∞ 2 ∞ = ∞ 0

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 1 2 x

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 2 x - 1 2 x

L = lim x → + ∞ ⁡ e 2 x ln ⁡ ( 2 x - 1 )

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação ∞ ∞ . Isso aí tá pedindo L’Hospital! Derivando, sem esquecer da regra da cadeia:

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 × 1 2 x - 1 × 2 1

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 4 2 x - 1

Pronto, agora quando o x vai pro infinito, o denominador vai pro infinito, e então esse limite vale 0 .

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x

L = e 0

L = 1

Resposta

e lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 2 x - 1 x = 1

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