Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3  

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = ∞ ∞

Essa é daqueles indeterminações que o L’Hospital gosta!

Passo 2

Mas se liga, essas derivadas são meio feias, então pode ser que nem corte de primeira pra chegarmos num limite bom que sabemos calcular. Ó o que dá pra fazer:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3  

Como o x vai pro infinito, aquele 2 é desprezível perto dele.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 1 3

Ajeitando a potência do denominador:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 3

Cortando,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = lim x → + ∞ ⁡ 1

E o limite da constante, como a gente sabe, é ela mesma!

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 x 2 + 2 1 3   = 1

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