Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2  

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2   = 0 c o s π 2 = 0 0

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2  

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 1 - ⁡ e l n 1 - x cos ⁡ π x 2  

L = lim x → 1 - ⁡ e cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, 0 × - ∞ . Então vamos botar o cosseno pra baixo de modo que a gente fique com - ∞   ∞ .

lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x = lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2

Pronto! Agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ - 1 1 - x π 2 s e n π x 2 cos 2 ⁡ π x 2

Arrumando,

lim x → 1 - ⁡ - 1 1 - x π 2 s e n π x 2 cos 2 ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ 2 cos 2 ⁡ π x 2 π s e n π x 2 ( x - 1 )

Agora vamos separar esse limite em duas partes:

lim x → 1 - ⁡ 2 cos 2 ⁡ π x 2 π s e n π x 2 ( x - 1 ) = 2 π lim x → 1 - ⁡ 1 s e n π x 2 × lim x → 1 - ⁡ cos 2 ⁡ π x 2 ( x - 1 )

O limite da esquerda é moleza, a gente vê de cara que ele vale 1 , porque fica:

lim x → 1 - ⁡ 1 s e n π x 2 = 1 s e n π 2 = 1

Pro segundo, continuamos com indeterminação, então vamos usar L’Hospital de novo!

lim x → 1 - ⁡ cos 2 ⁡ π x 2 ( x - 1 ) = lim x → 1 - ⁡ - 2 cos ⁡ π x 2 s e n π x 2 1

Agora sim, substituindo, vamos encontrar:

lim x → 1 - ⁡ cos 2 ⁡ π x 2 ( x - 1 ) = - 2 0 1 = 0

Por isso, voltando tudo:

lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x = lim x → 1 - ⁡ 2 cos 2 ⁡ π x 2 π s e n π x 2 ( x - 1 ) = 2 π × 1 × 0 = 0

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x

L = e 0

L = 1

Resposta

e lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 1 - x = 1

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Calcule o limite, se ele existir. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - cosh ⁡ x x 2 .