Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2

Para isso, podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 2 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 2 2 + 2 - 6 2 - 2 ∴

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamos analisar um pouco e descobrir, calma que vai da certo!

Para começar, a gente pode tentar fatorar esse numerador, já que a gente sabe traalhar com equações do segundo grau, belezinha??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos lá, vamos analisar o limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2

Podemos escrever o nosso numerador como um produto notável da seguinte forma:

x 2 + x - 6 = x - x 1 x - x 2

Onde, x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Deste modo, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

x 2 + x - 6

x =   - b   ± - 4 * a * c + b ² 2 * a

Temos que a = 1 , b = 1 e c = - 6 .

Substituindo obtemos:

x =   - 1 ± 5 2

Assim, as raízes são:

x 1 = 2

e

x 2 =   - 3

Então, obtemos:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x + 3 ) x - 2

Agora sim, bem mais simples!

Passo 3

Agora vamos analisar o limite que simplificamos:

lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x + 3 ) x - 2

Podemos ver que a expressão x - 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, podemos então simplificar a expressão inteira:

lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x + 3 ) x - 2 = lim x → 2 ⁡ x + 3

Agora é só substituir o valor 2 na expressão, simples assim:

lim x → 2 ⁡ x + 3 = 2 + 3 = 5

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

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