Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 1 na expressão não é uma boa tentativa, pois ao fazer isso, ficamos com uma inderterminação. Veja:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1

= 1 4 - 1 1 3 - 1 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação.

A ideia será modificar um pouco a forma como a função está escrita, fatorando e simplificando sua expressão, para então poder recalcular o limite e fugir dessa indeterminação.

Então vamo lá!!

Passo 2

Observe que a função é composta por uma fração que tem t 4 - 1 no numerador, e t 3 - 1 no denominador.

Vamos começar fatorando esse carinhas.

Veja que t 4 - 1 pode ser entendido como uma diferença de quadrados do tipo:

a 2 - b 2

E sua fatoração é

a 2 - b 2 = a + b a - b

Nesse caso

t 4 - 1 = t 2 2 - 1 2

E sua forma fatorada é:

t 4 - 1 = t 2 + 1 t 2 - 1

E no fator ( t 2 - 1 ) aplicamos a fatoração novamente. O que nos dará:

t 4 - 1 = t 2 + 1 t + 1 t - 1

Show, essa é a máxima fatoração dele.

Vamos agora olhar para o denominador t 3 - 1 . Ele pode ser entendido como uma diferença de cubos do tipo:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Assim:

t 3 - 1 = ( t - 1 ) ( t 2 + t + 1 )

Boa, agora vamos substituir.

Passo 3

Temos então que, substituindo no limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t 3 - 1 =

= lim t → 1 ⁡ t 2 + 1 t + 1 t - 1 t - 1 t 2 + t + 1

Perceba que o fator t - 1 pode ser simplificado, o que nos dará:

= lim t → 1 ⁡ t 2 + 1 t + 1 t 2 + t + 1

Passo 4

Agora vamos tentar novamente. Podemos aplicar o limite. Assim:

lim t → 1 ⁡ t 2 + 1 t + 1 t 2 + t + 1 =

= 1 2 + 1 1 + 1 1 2 + 1 + 1 =

= 4 3

E deu tudo certo dessa vez. Não caímos em ideterminação e encontramos nossa resposta.

Resposta

4 3

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Calculeunderset(x - 1)(lim) (root(3)(x + 7) - 2)/(x - 1)
Seja f definida R . Suponha que underset(x - 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calculeunderset(x - 0)(lim) (f (7 x))/(3 x)
Seja f definida R . Suponha que underset(x - 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calculeunderset(x - 0)(lim) (f (x^2))/(x)
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Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule lim h → 0 ⁡ f p + h - f p h