Enunciado

Calcule o limite, se existir.

2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3  

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3  

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor - 1 na expressão não é uma boa tentativa, pois ao fazer isso, ficamos com uma indeterminação. Veja:

2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3   = 2 ⋅ - 1 2 + 3   ⋅ ( - 1 ) + 1 ( - 1 ) 2 - 2 ⋅ ( - 1 ) - 3 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação.

A ideia será modificar um pouco a forma como a função está escrita, fatorando e simplificando sua expressão, para então poder recalcular o limite e fugir dessa indeterminação.

Então vamo lá!!

Passo 2

Primeiro podemos simplificar a expressão, temos que:

2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3  

Observe que tanto o numerador quanto o denominador são trinômios do segundo grau. Que podem ser fatorados.

Assim, podemos escrever

2 x 2 + 3 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

E

x 2 - 2 x - 3 = x + 1 x - 3

E o limite se torna:

= 2 x + 1 x + 1 x + 1 x - 3  

Agora podemos simplificar os fatores comuns ( x + 1 ) , ficando com:

= 2 x + 1 x - 3  

Isso faz com que nossa função seja reescrita de uma forma mais simples.

Passo 3

Podemos aplicar novamente o limite e ver se o problema da indeterminação foi resolvido. Assim:

2 x + 1 x - 3  

= 2 - 1 + 1 - 1 - 3

O que nos dá:

= - 1 - 4

= 1 4

Logo, vemos que o limite existe e é igual a 1 4 !!

Prontinho.

Resposta

1 4

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Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → 1 ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:a) lim x → 0 + ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:c) lim x → - 2 ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → - ∞ ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:d) lim x → + ∞ ⁡ f ( x )