Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x - 1 2 ( x 2 + x )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x - 1 2 ( x 2 + x )

Ou então, provar que ele não existe!

Se aplicamos diretamente em x , chegamos à indeterminação ∞ ∞ . Precisamos então manipular nossa função e fugir da indeterminação!

Passo 2

Nossa função é:

2 x 2 + 1 2 x - 1 2 ( x 2 + x )

Se abrimos essa expressão vamos ficar com:

4 x 4 + 4 x 2 + 1 x 2 - 2 x + 1 ( x 2 + x ) = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 x 4 - x 3 - x 2 + x

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Imagina dividir 1 100000000000000 o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Para isso vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é x 4 . Agora vamos dividir todo mundo por x 4 :

4 x 4 x 4 + 4 x 2 x 4 + 1 x 4   x 4 x 4 - x 3 x 4 - x 2 x 4 + x x 4 = 4 + 4 x 2 + 1 x 4   1 - 1 x - 1 x 2 + 1 x 3

Passo 3

Agora é só aplicar e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

lim x → ∞ ⁡ 4 + 4 x 2 + 1 x 4   1 - 1 x - 1 x 2 + 1 x 3 = 4 + 4 ∞ 2 + 1 ∞ 4   1 - 1 ∞ - 1 ∞ 2 + 1 ∞ 3

Lembra que uma divisão por tende a zero. Assim, temos:

4 + 4 ∞ 2 + 1 ∞ 4   1 - 1 ∞ - 1 ∞ 2 + 1 ∞ 3 = 4 + 0 + 0 1 - 0 - 0 + 0 = 4  

Logo:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x - 1 2 ( x 2 + x ) = 4  

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 2 x - 1 2 ( x 2 + x ) = 4  

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