Calcule o limite, se ele existir.

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x

Passo 1

Se a gente olhar pra função, ela tem uma indeterminação pra x = 2 . Se é assim, vamo aplicar o Teorema de L’Hôpital pra tentar tirar essa indeterminação!

Fica assim:

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x = lim x → 2 ⁡ π   cos ⁡ ( π x ) ( - 1 ) .  

Se liga que a função que tá no numerador é composta, então a gente teve que derivar o que tá ali dentro do seno também pra obedecer a Regra da Cadeia.

Passo 2

Agora que a indeterminação não tá mais ali, a conta se resume a um limite que a gente sabe resolver muito bem! :D

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x = - π lim x → 2 ⁡ cos ⁡ ( π x ) .  

Passo 3

Como cos ⁡ 2 π = 1 , fica

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x = - π .

Resposta

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x = - π .

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