Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> 2)(lim) (sin ( pi x ))/(2 - x)

Passo 1

Se a gente olhar pra função, ela tem uma indeterminação pra x = 2 . Se é assim, vamo aplicar o Teorema de L’Hôpital pra tentar tirar essa indeterminação!

Fica assim:

underset(x -> 2)(lim) (sin ( pi x ))/(2 - x) = underset(x -> 2)(lim) (pi cos ( pi x ))/(( - 1 )) .

Se liga que a função que tá no numerador é composta, então a gente teve que derivar o que tá ali dentro do seno também pra obedecer a Regra da Cadeia.

Passo 2

Agora que a indeterminação não tá mais ali, a conta se resume a um limite que a gente sabe resolver muito bem! :D

underset(x -> 2)(lim) (sin ( pi x ))/(2 - x) = - pi underset(x -> 2)(lim) cos ( pi x ) .

Passo 3

Como cos 2 pi = 1 , fica

underset(x -> 2)(lim) (sin ( pi x ))/(2 - x) = - pi .

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (sin ( pi x ))/(2 - x) = - pi .

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