Calcule o limite, se ele existir.

lim x → 0 ⁡ e 2 x 2 - 1 sin 2 ⁡ x

Passo 1

Desde que a Regra de L’Hôpital apareceu nas nossas vidas, as indeterminações não nos atingem mais! :D Então, vamo aplicar L’Hôpital nesse limite:

lim x → 0 ⁡ e 2 x 2 - 1 sin 2 ⁡ x =   lim x → 0 ⁡ 4 x e 2 x 2 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

Essa derivação do numerador foi feita com a substituição u = x 2 .

Passo 2

Simplificando,

lim x → 0 ⁡ 4 x e 2 x 2 2 sin ⁡ x cos ⁡ x =   lim x → 0 ⁡ 4 x e 2 x 2 sin ⁡ ( 2 x ) .

Como, até agora, não demos um jeito no limite, bora recorrer pra L’Hôpital de novo!

lim x → 0 ⁡ 4 x e 2 x 2 sin ⁡ ( 2 x ) = lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x 2 + 16 x 2 e 2 x 2 2 ∙ cos ⁡ 2 ( x )

Passo 3

Agora, é só correr pro abraço! Fazendo x → 0 , o resultado é

lim x → 0 ⁡ e 2 x 2 - 1 sin 2 ⁡ x = 2 .

Resposta

lim x → 0 ⁡ e 2 x 2 - 1 sin 2 ⁡ x = 2 .

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