Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2)

Para isso, podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 2 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = ((2)^2 + (2) - 6)/((2) - 2) = (0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamos analisar um pouco e descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos lá, vamos analisar o limite:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2)

Podemos escrever o nosso numerador como um produto notável da seguinte forma:

x^2 + x - 6 = (x - x_1) (x - x_2)

Onde, x_1 e x_2 são as raízes da equação.

Deste modo, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

x^2 + x - 6

x = (- b +- sqrt(- 4 . a . c + b ²))/(2 . a)

Temos que a = 1 , b = 1 e c = - 6 .

Substituindo obtemos:

x = (- 1 +- 5)/(2)

Assim, as raízes são:

x_1 = 2

e

x_2 = - 3

Então, obtemos:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (( x - 2 ) ( x + 3 ))/(x - 2)

Agora sim, bem mais simples!

Passo 3

Agora vamos analisar o limite que simplificamos:

underset(x -> 2)(lim) (( x - 2 ) ( x + 3 ))/(x - 2)

Podemos ver que a expressão x - 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, podemos então simplificar a expressão inteira:

underset(x -> 2)(lim) (( x - 2 ) ( x + 3 ))/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) x + 3

Agora é só substituir o valor 2 na expressão, simples assim:

underset(x -> 2)(lim) x + 3 = 2 + 3 = 5

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = 5

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