Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2

Passo 1

Bom galera, o problema pede pra a gente calcular o limite:

lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2

Caso ele exista! Bora lá?

Não podemos substituir x = 2 de cara sem dar indeterminação:

lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2 = 2 2 - 2 + 6 2 - 2 = 8 0

Aqui a gente vai precisar manipular a função até poder substituir x = 2 . Caso o resultado seja um número real, então sucesso! Mas pode acontecer do resultado do limite ser ± ∞ ou dele simplesmente ser incalculável.

Nesse caso dizemos que o limite não existe. Agora vamos lá?!

Passo 2

Vamos pensar em como manipular a função:

x 2 - x + 6 x - 2

Pra isso precisamos reescrever o numerador de modo que x - 2 apareça multiplicando. Aí a gente pode cortar com o denominador e sucesso!

Vamos calcular as raízes do numerador:

x 2 - x + 6 = 0

Usando Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo:

x = 2 ± - 2 2 - 4 1 6 2 1

x = 2 ± 4 - 24 2

x = 2 ± - 20 2

Opa, raiz quadrada negativa! Isso significa que a função do numerador não tem raízes reais. Assim precisamos aceitar que:

lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2 = 8 0 = ∞

Portanto o limite não existe nesse ponto!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2 = n ã o   e x i s t e   !

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