Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Para isso, devemos calcular os limites laterais e comprar.

Caso o limite lateral pela esquerda e o limite lateral pela direita derem o mesmo resultado, então o limite existe!!!

E outras palavras, precisamos que:

lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x ) = L

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para resolver esse limite podemos pensar em apenas substituindo o valor - 1 na expressão:

- 1 2 - 4 ( - 1 ) - 1 2 - 3 - 1 - 4 = 1 + 4 1 + 3 - 4 = 5 4 - 4

Perceba que se continuarmos teremos

5 0

Mas calma! Como fizemos x → - 1 esse denominador não é exatamente zero, mas sim, se aproxima bastante de zero. Isso porque o x não é exatamente igual a - 1 , mas sim se aproxima de - 1 .

O denominador é mesmo muito pequeno e está bem próximo de zero, mas isso pode estar acontendendo pela direita com valores positimos ou pela esqueda com valores negativos.

Então o nosso limite vai pra infinito! Agora basta olhar se é pra + ∞ , - ∞ ou se o limite existe mesmo.

Pra isso temos que olhar os limites laterais.

Passo 3

O limite pela esquerda fica

lim x → - 1 - ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4

Aí, pra analisar o sinal vamos rescrever o denominador da seguinte maneira

x 2 - 3 x - 4 = x + 1 x - 4

E o numerador

x 2 - 4 x = x x - 4

Então

lim x → - 1 - ⁡ x x - 4 x + 1 x - 4 = lim x → - 1 - ⁡ x x + 1 = - 1 0 - = + ∞

Já o limite pela direita fica

lim x → - 1 + ⁡ x x - 4 x + 1 x - 4 = lim x → - 1 + ⁡ x x + 1 = - 1 0 + = - ∞

Como os dois limites são diferentes, então o limite não existe!

Caso os limites laterais fossem iguais, ainda assim o limite só existiria se fosse para um valor L que precisa se diferente de infinito. Ok?

Resposta

O limite não existe

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