Enunciado

35 - 40. Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.

35)

∫ 1 3 1 + 2 x d x

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ 1 3 1 + 2 x d x

Interpretando o resultado em termo da área.

Primeiro vamos calcular a integral indefinida:

∫     1 + 2 x d x

Como estamos falando de termos de um polinômio, podemos integrar usando a regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Veja só!

Passo 2

Então, como 1 = x 0 e x = x 1 ...

∫     1 + 2 x d x = x 1 1 + 2 x 2 2 + C →

∫     1 + 2 x d x = x + x 2 + C

Onde C é a constante de integração que aparece quando resolvemos qualquer integral indefinida, mas que não tem necessidade de aparecer na definida (a integral com os limites):

∫ 1 3 1 + 2 x d x = x + x 2 1 3

Agora é só substituir os limites de acordo com o Teorema fundamental do cálculo:

∫ 1 3 1 + 2 x d x = 3 + 3 2 - 1 + 1 2

∫ 1 3 1 + 2 x d x = 12 - 2

∫ 1 3 1 + 2 x d x = 10

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O problema nos pediu para interpretar esse resultado como uma área!

Bem, se desenharmos a função 1 + 2 x no plano cartesiano...

A integral de 1 + 2 x de x variando de 1 a 3 , nada mais é do que a área abaixo da reta até o eixo x para x de 1 a 3 :

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 3 1 + 2 x d x = 10

Valor correspondente a área do gráfico de 1 + 2 x até ao eixo x para x de 1 a 3 .

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