Calcule o limite.

lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 0 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = 1 + 0 - 1 - 0 0

Como a e b são positivos:

L = 1 - 1 0 → L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação.

Passo 2

A ideia será multiplicar por 1 + x + 1 - x , porque se mudarmos o sinal de ambos os termos que tem a raiz não vamos conseguir chegar numa expressão do tipo a - b a + b . Assim,

L = lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x × 1 + x + 1 - x 1 + x + 1 - x

Isto é

L = lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x 1 + x + 1 - x x 1 + x + 1 - x

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 1 + x + 1 - x

Elevando os termos ao quadrado:

L = lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x 1 + x + 1 - x

Logo,

L = lim x → 0 ⁡ 2 x x 1 + x + 1 - x

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o   x e encontrar o limite.

L = lim x → 0 ⁡ 2 1 + x + 1 - x

Agora basta fazer x = 0 e correr pro abraço.

L = 2 1 + 1

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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