Calcule o limite.

lim x → a ⁡ x 3 - a 3 x - a ,   a ≠ 0

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o a . Então vamos lá!

L = a 3 - a 3 a - a

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo x 3 - a 3 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m 3 - n 3 = m - n m 2 + m n + n 2

Como só temos o termo m - n onde m = x 3 e n = a 3 , vamos ter que multiplicar por a 2 + a b + b 2 .

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior!

L = lim x → a ⁡ x 3 - a 3 x - a

Agora vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

x 3 2 + x 3 ⋅ a 3 + a 3 2

Assim,

L = lim x → a ⁡ x 3 - a 3 x - a ⋅ x 3 2 + x 3 ⋅ a 3 + a 3 2 x 3 2 + x 3 ⋅ a 3 + a 3 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → a ⁡ x 3 3 - a 3 3 x - a x 2 3 + x 3 ⋅ a 3 + a 2 3

Elevando os termos ao cubo:

L = lim x → a ⁡ x - a x - a x 2 3 + x 3 ⋅ a 3 + a 2 3

Passo 3

Pra finalizar, vamos cortar o x - a e finalmente achar o limite.

L = lim x → a ⁡ 1 x 2 3 + x 3 ⋅ a 3 + a 2 3

Agora basta fazermos x = a e correr pro abraço. Assim,

L = 1 a 2 3 + a 3 ⋅ a 3 + a 2 3

Portanto,

L = 1 3 a 2 3

Resposta

L = 1 3 a 2 3

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