Enunciado

Calcule o limite.

underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(2 x^2 - 7))/(x + 3)

Passo 1

Como temos um limite onde nossa função possui termos polinomiais e x -> - oo , a estratégia será colocar o termo de maior grau em evidencia. Vamos lá!

L = underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(2 x^2 - 7))/(x + 3)

No numerador, podemos colocar em evidencia o x^2 dentro da raiz, e no denominador o x . Assim,

L = underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 (2 - (7)/(x^2))))/(x (1 + (3)/(x)))

Como x -> - oo , estamos com valores negativos de x . Então podemos tirar o x^2 da raiz trocando o sinal.

L = underset(x -> - oo)(lim) (- x sqrt(2 - (7)/(x^2)))/(x (1 + (3)/(x)))

Simplificando:

L = underset(x -> - oo)(lim) - (sqrt(2 - (7)/(x^2)))/((1 + (3)/(x)))

Passo 2

Pra facilitar nossa vida, podemos escrever da seguinte forma:

L = (underset(x -> - oo)(l i m) - sqrt(2 - (7)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (3)/(x)))

Repare que no denominador basta calcular o limite do que está dentro da raiz. Assim,

L = (- sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) (2 - (7)/(x^2))))/(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (3)/(x)))

Quando x -> - oo :

L = - (sqrt(2 - (7)/((- oo)^2)))/(1 + (3)/((- oo)))

Isto é,

L = - (sqrt(2 - 0))/(1 + 0)

Portanto,

L = - sqrt(2)

Resposta

L = - sqrt(2)

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Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ 1 x - 1 x
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x - x
Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) .