Enunciado

Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ x - x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

lim x → ∞ ⁡ x - x = ∞ - ∞

Mas fazendo assim, achamos uma indeterminação, então temos que fazer manipulações matemáticas.

Uma ideia quando temos várias potências (ou raízes) de x é colocar a maior potência em evidência. Nesse caso, é o próprio x .

Isso geralmente ajuda porque acabamos fazendo vários termos serem 0. E isso pode acabar com a indeterminação.

Vamos tentar!

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos primeiro colocar x em evidência.

lim x → ∞ ⁡ x - x = l i m x → ∞ x x x - x x = l i m x → ∞ x 1 - 1 x

Agora, iremos aplicar algumas propriedades! O limite do produto é o produto dos limites:

l i m x → ∞ x 1 - 1 x = l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1 - 1 x

O limite da soma/subtração é a soma/subtração dos limites:

l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1 - 1 x = l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 1 x

Passo 3

Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo. Limite de constante é a própria constante:

l i m x → ∞ 1 = 1

E limite de um número finito dividido por infinito dá zero:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Então:

l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 1 x = l i m x → ∞ x 1 - 0 = l i m x → ∞ x

E agora achamos nosso resultado:

l i m x → ∞ x = ∞

Então:

lim x → ∞ ⁡ x - x = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - x = ∞

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