Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1

Passo 1

Esse é um limite que quando você vê, tem que lembrar que ele é daquele tipo de limites que dá alguma forma do e , aquele número neperiano. Olha só a manipulação que vou fazer pra chegar nele. Lembrando que o limite que dá e é esse aqui:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1

Vamos dar uma manipulada pra tentar fazer ficar parecido:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 + 2 2 n + 1 n + 1

Separando,

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 1 + 2 2 n + 1 n + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 2 n + 1 n + 1

Bom, já tá mais parecido, né? Vamos passar aquele 2 pra baixo dividindo:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n + 1 2 n + 1

Passo 3

Até aqui foi manipulação algébrica. Agora vamos fazer manipulação dos limites: como o n tá indo pro infinito, aquele 1 2 do denominador e o 1 do expoente são desprezíveis!

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

Cara, chegamos exatamente na expressão do limite fundamental! Por isso,

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = e

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 2 n + 1 n + 1 = e

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