Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1

Passo 1

Nessa questão, a gente mistura dois tipos de limites. O primeiro é um limite que a gente já viu lá na teoria bem parecido. Ele é dessa forma aqui:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

O segundo é o próprio limite fundamental da trigonometria:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1

Vamos começar separando esse limite em dois:

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1 = lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1

Concorda comigo que vamos precisar de x - 1 tanto pra fazer aparecer o fundamental da trigonometria quanto pra aparecer o da exponenciação? Então vamos dividir por x - 1 em cima e embaixo.

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1 = lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 x - 1 lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1 x - 1

Passo 3

Pra resolver o limite do numerador, a gente precisa só que o que está elevando o 3 seja igual ao denominador da fração. Dividindo por 4 em cima e embaixo:

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 x - 1 = 1 4 lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 x - 1 4

Trocando esse x - 1 4 por y , o limite passa a ser de y tendendo a 0 .

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 x - 1 = 1 4 lim x → 1 ⁡ 3 y - 1 y

Pronto, esse já tá no formato e sabemos que ele vale o logaritmo natural da base da potência.

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 x - 1 = 1 4 ln ⁡ 3

Passo 4

Agora pro limite do denominador, só falta uma constante pra ele virar o fundamental. Multiplicando por 5 em cima e embaixo:

lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1 x - 1 = 5 lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1 5 ( x - 1 )

Esse é o fundamental! Assim,

lim x → 1 ⁡ s e n 5 x - 1 x - 1 = 5

Juntando o numerador e denominador, chegamos em:

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1 = ln ⁡ 3 5 × 4

Arrumando,

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1 = ln ⁡ 3 20

Resposta

lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 4 - 1 s e n 5 x - 1 = ln ⁡ 3 20

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Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 55 )x ² y - 2 x 2 - y - 2 = 0 ²
Determine o limite QUOTE _x0001_
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. y=1-x 2 x 2+1
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas verticais. y=x 2+4 x-3
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. y=x 2+9 9 x 2+1