Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2

Vamos fazer aparecer um seno usando a fórmula de transformação de diferença de cossenos em produto:

cos ⁡ p - cos ⁡ q = - 2 s e n p + q 2 s e n p - q 2

Essa é ótima porque vai fazer aparecer dois senos, ou seja, já vai ter quase o limite fundamental! Aplicando essa fórmula, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 s e n 5 x 2 s e n - x 2 x 2

Agora vamos separar em dois limites:

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = - 2 lim x → 0 ⁡ s e n 5 x 2 x lim x → 0 ⁡ s e n - x 2 x

Vamos ajeitar cada um dos limites pra ficar igual ao fundamental:

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = - 2 × 5 2 × - 1 2 lim x → 0 ⁡ s e n 5 x 2 5 2 x lim x → 0 ⁡ s e n - x 2 - 1 2 x

Prontinho, ficaram só os fundamentais!

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = - 2 × 5 2 × - 1 2

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = 5 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - c o s 3 x x 2 = 5 2

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