Calcule ∫ C   ( x y + y + z ) d s ao longo da curva r(t) = 2t*i + t*j + (2 - 2t) k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral ∫ c   x 2 + y 2 d s sobre uma curva C , dada pela equação de reta parametrizada r → ( t ) = ( 4 c o s ⁡ t ) i → + ( 4 s e n ⁡ t ) j → + 3 t k → com - 2 π ≤ t ≤ 2 π devemos lembrar da teoria da página 363.

Passo 2

Assim, a integral ∫ c   x 2 + y 2 d s pode ser escrita como ∫ - 2 π 2 π   f ( 4 c o s ⁡ t , 4 s e n ⁡ t , 3 t ) d r ‾ d t d t , onde f ( 4 c o s ⁡ t , 4 s e n ⁡ t , 3 t ) é uma função contínua em C e d r ‾ d t a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 3

Precisamos agora encontrar a f ( x , y , z ) calculada para x 2 + y 2 , com x = 4 c o s ⁡ t e y = 4 s e n ⁡ t , que será igual a f ( 4 c o s ⁡ t , 4 s e n ⁡ t , 3 t ) = ( 4 c o s ⁡ t ) 2 + ( 4 s e n ⁡ t ) 2 = 4 .A velocidade dada por v → = d r → d t = ( - 4 s e n ⁡ t ) i → + ( 4 c o s ⁡ t ) j → + 3 k → .O módulo de v → será igual a:

d r → d t = | ( - 4 s e n ⁡ t ) i → + ( 4 c o s ⁡ t ) j → + 3 k → | = ( - 4 s e n ⁡ t ) 2 + ( 4 c o s ⁡ t ) 2 + 3 2 d r → d t = 16 s e n 2 + 16 c o s ⁡ t 2 + 9 = 16 s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t + 9 = 25 = 5

Passo 4

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ - 2 π 2 π   f ( 4 c o s ⁡ t , 4 s e n ⁡ t , 3 t ) d r → d t d t Fazendo as substituições de ∫ - 2 π 2 π   f ( 4 c o s ⁡ t , 4 s e n t , 3 t ) d r ‾ d t d t e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o resultado da questão que é:

∫ - 2 π 2 π   ( 4 ) ( 5 ) d t = 20 t - 2 π 2 π = 20 ( 2 π ) - 20 ( - 2 π ) = 80 π

Resposta

Resposta nos passos.

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