Enunciado

Calcule à mão as integrais e verifique suas respostas com um CAS, se disponível.

∫ c o s ⁡ ( 3 x ) 5 + 2 s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Sabendo que a nossa integral é:

∫ c o s ⁡ ( 3 x ) 5 + 2 s e n ( 3 x ) d x

Vamos solucionar a integral pode meio de substituição u d u :

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = ∫ u d u

Se considerarmos:

u = 5 + 2 s e n 3 x

Então:

d u = 2.3 . cos ⁡ 3 x d x

cos ⁡ 3 x = d u 6

Passo 2

Agora, podemos resolver a integral:

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = ∫ u d u

Substituindo em termos de u :

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = ∫ d u 6 u = ∫ d u 6 u 1 / 2

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 1 6 ∫ d u u 1 / 2

Resolvendo, temos:

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 1 6 u - 1 / 2 - 1 2 + 1 + C

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 1 6 u 1 / 2 1 2 + C

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 2 6 u 1 / 2 + C

Substituindo u = 5 + 2 s e n ( 3 x ) :

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 1 3 [ 5 + 2 s e n ( 3 x ) ] 1 / 2 + C

Resposta

∫ cos ⁡ 3 x 5 + 2 s e n 3 x d x = 1 3 [ 5 + 2 s e n ( 3 x ) ] 1 / 2 + C

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