Enunciado

Um colecionador de arte comprou uma pintura por $1000 de uma artista cujos trabalhos aumentam de valor em relação ao tempo, de acordo com a fórmula d V d t = 5 t 3 2 + 10 t + 50 , onde V é o valor estumado de uma pintura t anos após a sua compra. Se essa fórmula for válida pelos próximos 6 anos, qual o valor prevista para a pintura daqui a quatro anos?

Passo 1

De cara a gente vê uma taxa de variação, que se encontram o valor dessa pintura em relação ao t, logo:

d V d t = 5 t 3 2 + 10 t + 50

Para acharmos a função de V em relação ao anos, integramos a taxa de variação:

d V d t = 5 t 3 2 + 10 t + 50

V = ∫ 5 t 3 2 + 10 t + 50   d t

V = t   50   +   5   t   +   2   t 3 2 + k

Passo 2

Nos deparamos com esse “k”. Como se livrar dele? Ora, sabemos de uma condição inicial, em que o valor da nossa pintura é igual a $1000 quando t = 0 , logo:

1000 = 0   50   +   5   0   +   2   0 3 2 + k

k = 1000

Passo 3

Portanto a nossa função se comporta de forma:

V = t   50   +   5   t   +   2   t 3 2 + 1000

Para um tempo de 4 anos, temos que:

V = t   50   +   5   t   +   2   t 3 2 + 1000

V = 4   50   +   5 * 4   +   2 *   4 3 2 + 1000

V = $ 1344

Resposta

V = $ 1344

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